いいえ。おちゃのこネットでは、Webメール機能をご用意しておりません。
最近は各プロバイダーもフリーメールサービスも、それぞれがWebメール機能を提供されているので、そちらのご利用が便利かと思います。

ご提案としては、

1.おちゃのこネットのメールアカウントを、プロバイダーに転送
「info@****.ocnk.net」(例)といったアドレスを作成して、既にお使いのプロバイダーメールアカウントに転送する事ができます。
Qmailの設定画面で、プロバイダーメールへの転送設定を行ってください。
後はお使いのプロバイダーのWebメール機能で送受信が可能です。
下記FAQをご参照ください。

◆おちゃのこで作成したアドレスから他のアドレスに転送する機能はありますか？
https://www.ocnk.net/faq/index.php?action=faq&id=123

2.おちゃのこネットのメールアカウントを、Webメール機能で読み込み
GoogleのGmailは大容量の非常に強力な無料メールサービスで、Webメール機能が使えます。
強力なSPAMフィルター機能もございますし、外部のメールアカウントを読み込んで使えますので、下記FAQをご参照のうえご利用ください。

◆おちゃのこネットのメールアドレスをGmailで送受信できますか？
https://www.ocnk.net/faq/index.php?action=faq&id=796

3.既にお持ちのメールアドレスを、ショップの連絡用に使用（非推奨）
プロバイダーから付与されたメールアドレスをショップの担当者用として設定して頂くことで、お手元のメール環境に特別な設定をする事無くショップ運営をしていただけます。
プロバイダーのWebメール機能をそのままご利用できます。
※ただし、お客様宛メールが迷惑メールとして処理される可能性が高いため、推奨しておりません。